Введение в теорию вероятностей [Андрей Райгородский]
В уникальной форме познакомитесь с основами теории вероятностей — рассмотрите вероятностные объекты и методы на примерах решения комбинаторных задач. Это позволит вам использовать вероятности в теории графов, случайных графов, веб-графов и прочих сложных сетей.
Что будет на курсе:
С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса.
Программа
Цена 3000 р
В уникальной форме познакомитесь с основами теории вероятностей — рассмотрите вероятностные объекты и методы на примерах решения комбинаторных задач. Это позволит вам использовать вероятности в теории графов, случайных графов, веб-графов и прочих сложных сетей.
Что будет на курсе:
- Основные понятия теории вероятностей
- Предельные теоремы
- Вероятностная техника для решения комбинаторных задач
С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса.
Программа
- Классическое определение вероятности
- Условные вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса
- Схема испытаний Бернулли
- Случайные величины
- Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
- Применение схемы Бернулли к задаче о раскраске
- Независимые случайные величины и закон больших чисел
- Предельные теоремы
- Геометрическая вероятность
- Колмогоровская аксиоматика
- Абсолютно непрерывные случайные величины
- Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин
- Метод моментов
1. Классическое определение вероятности
- Классическая вероятность. Случайное событие и вероятность на примере с игральной костью.
- Классическое определение вероятности.
- Свойства вероятности.
- Формулировка задачи.
- Решение задачи.
- Задача о книжной полке.
- Задача о случайном подмножестве.
- Задача о простом цикле в классической модели.
- Задача о двух кубиках.
- Задача о двух случайных числах.
- Условная вероятность. Определение условной вероятности.
- Независимость двух и нескольких событий.
- Формула полной вероятности.
- Задача с урнами на применение формулы полной вероятности.
- Формула Байеса.
- Задача на применение формулы Байеса.
- Задача о трёх случайных числах.
- Задача о двух студентах на экзамене.
- Задача про игральные кости.
- Задача о двух случайных подмножествах.
- Задача об урнах.
- Задача об условной вероятности простого цикла.
- Схема испытаний Бернулли.
- Схема испытаний Бернулли: множество элементарных исходов и вероятность успеха.
- Схема испытаний Бернулли: вероятность элементарного исхода.
- Подсчёт вероятности события наступления фиксированного количества успехов.
- Задача о вероятности пересечения двух случайных множеств.
- Полиномиальная схема.
- Задача о двух гардеробах.
- Задача про частицу на прямой.
- Задача о пустом пересечении случайных подмножеств.
- Задача о трёх случайных подмножествах.
- Задача о простом цикле в схеме испытаний Бернулли.
- Задача о дереве.
- Задача о пользователе социальной сети.
- Случайные величины. Вероятностные пространства в классическом случае и в схеме Бернулли.
- Конечное вероятностное пространство, свойства вероятности.
- Определение случайной величины.
- Случайный граф, число треугольников в случайном графе.
- Распределение случайной величины.
- Функции распределения.
- Задача о всевозможных случайных величинах.
- Задача о функции распределения модифицированной случайной величины.
- Задача о количестве пар ладей.
- Задача о числе компонентов связности случайного графа.
- Математическое ожидание. Вероятность отсутствия треугольника в случайном графе. Математическое ожидание.
- Свойство линейности математического ожидания, примеры.
- Неравенство Маркова.
- Применение неравенства Маркова в задаче о пороговой вероятности существования треугольника.
- Определение дисперсии. Неравенство Чебышева.
- Неравенство Чебышева в задаче о пороговой вероятности: формулировка теоремы и начало доказательства.
- Завершение доказательства теоремы.
- Задача о веб-странице.
- Задача о космическом корабле.
- Задача о случайной перестановке.
- Задача об изолированных вершинах.
- Задача о хроматическом числе.
- Задача о полном графе на четырёх вершинах.
- Задача о непересекающихся парах случайных подмножеств.
- Применение схемы Бернулли к задаче о раскраске. Введение.
- Обобщение задачи о раскраске пятнадцати множеств на случай произвольного числа множеств.
- Формулировка теоремы.
- Доказательство теоремы: первая раскраска.
- Доказательство теоремы: вторая раскраска, определение «плохого» события F.
- Доказательство теоремы: оценивание вероятности события F через вероятности событий A, A', C.
- Доказательство теоремы: оценивание вероятностей событий A, A'.
- Доказательство теоремы: оценивание вероятностей событий C.
- Доказательство теоремы: оценивание вероятности события F.
- Завершение доказательства: нахождение параметра p.
- Задача о числе Рамсея.
- Задача о родительском собрании.
- Независимые случайные величины и закон больших чисел. Определение независимости двух событий и независимости в совокупности.
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
- Дисперсия суммы независимых случайных величин.
- Существование двух зависимых некоррелированных случайных величин.
- Формулировка закона больших чисел.
- Доказательство закона больших чисел.
- Задача о независимых случайных величинах.
- Задача об индикаторах в случайном графе.
- Задача о бесконечной серии испытаний Бернулли.
- Задача о математическом ожидании произведения случайных величин.
- Задача об изолированных вершинах случайного двудольного графа.
- Предельные теоремы. Математическое ожидание и дисперсия числа успехов в схеме Бернулли. Теорема Пуассона.
- Доказательство теоремы Пуассона.
- Теорема Муавра — Лапласа.
- Задача о двух гардеробах.
- Решение задачи о двух гардеробах.
- Задача про пьяницу.
- Применение неравенства Чебышева.
- Применение интегральной предельной теоремы.
- Экспоненциальная вероятность.
- Задача о случайных цифрах.
- Задача о стенографисте.
- Задача о благотворительном фонде.
- Задача об асимптотике вероятности фиксированного числа успехов.
- Геометрическая вероятность.
- Задача о встрече.
- Решение задачи о встрече для случая дискретного времени.
- Решение задачи для случая непрерывного времени, геометрическая вероятность.
- Парадокс Бертрана.
- Задача о нахождении минимального числа пустых треугольников.
- Вероятностный метод в задаче о нахождении минимального числа пустых треугольников.
- Задача о касательных к окружности.
- Задача о двух случайных точках на отрезке.
- Задача о трёх случайных точках на окружности.
- Задача о треугольнике, составленном из трёх случайных отрезков.
- Колмогоровская аксиоматика. Отличия понятий гемеотрической и классической вероятностей.
- Колмогоровское определение вероятностного пространства: сигма-алгебра событий.
- Колмогоровское определение вероятностного пространства: вероятность.
- Интуитивное определение случайной величины.
- Борелевская сигма-алгебра.
- Случайная величина и функция распределения.
- Свойства функции распределения.
- Задача об операциях, определяющих алгебру.
- Задача о пересечении сигма-алгебр.
- Абсолютно непрерывные случайные величины. Дискретные распределения: определение и примеры.
- Распределение Пуассона.
- Абсолютно непрерывные распределения: определение.
- Равномерное распределение.
- Стандартное нормальное распределение.
- Нормальное распределение.
- Экспоненциальное и хи-квадрат распределения.
- Сингулярные распределения.
- Математическое ожидание и дисперсия.
- Математическое ожидание функции от случайной величины.
- Моменты случайной величины.
- Независимые случайные величины.
- Задача о моментах стандартной нормальной случайной величины.
- Задача о преобразовании стандартной нормальной случайной величины.
- Задача о случайных величинах без математического ожидания.
- Задача о преобразовании случайной величины с распределением Коши.
- Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева и закон больших чисел.
- Виды сходимостей случайных величин.
- Из сходимости по вероятности не следует сходимости почти наверно.
- Усиленный закон больших чисел.
- Центральная предельная теорема.
- Формула свёртки.
- Другие функции.
- Задача о порядковых статистиках.
- Задача о плотности разности независимых случайных величин.
- Задача о вычисления вероятностей.
- Задача о видах сходимостей случайных величин.
- Задача о сумме независимых биномиальных случайных величин.
- Метод моментов. Связь первых моментов и распределения случайной величины.
- Факториальные моменты.
- Формула обращения.
- Пуассоновская аппроксимация.
- Деревья в случайном графе.
- Отсутствие деревьев.
- Пуассоновское число деревьев: вычисление математического ожидания.
- Пуассоновское число деревьев: вычисление второго факториального момента.
- Пуассоновское число деревьев: вычисление остальных факториальных моментов.
- Задача о пороговой вероятности, предел вероятности равен нулю.
- Задача о пороговой вероятности, предел вероятности равен единице.
- Задача о формуле обращения.
- Задача о производящей функции.
- Доказательство центральной предельной теоремы в случае конечных моментов.
https://academika.ru/course/mipt-int-probability-theory/